Relation de récurrence

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Relation de récurrence

Message par Touf Touf le Dim 2 Jan - 15:27

Je ne comprends pas comment on arrive à l'équation de récurrence... ( A la toute fin du chapitre 1 )

On part d'une équation différentielle. On dérive 2 fois le g(x) dans son développement de Taylor et on réinjecte g(x),g'(x) et g''(x)

Mais après je ne comprends rien du tout et donc encore moins comment on arrive a

Ck+2=(2k +u ).Ck/[(k+2).(k+1)]

Si qqun pouvait m'aider ?
merci
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Re: Relation de récurrence

Message par Berengere le Dim 2 Jan - 16:35

Comme tu dis, tu derives et puis tu reinjectes. Ensuite tu as une equation du type:
a somme[ k (k-1) Ck x^(k-2)] +b somme [ k Ck x^(k-1) + c somme [Ck x^k] =0
Ensuite, dans le cours theorique, ce qu'il fait, c'est qu'il dit: regardons ce que ca nous donne comme equations sur les coefficients des termes de meme degre... donc, tu veux avoir les coefficient de tous les x^n mettons.

1) tu a donc c Cn directement de la troisieme somme.

2)pour b somme [k Ck x^(k-1)], dans l'exmple fait au cours (et dans beaucoup fait en exercice...), b est en fait d*x, et donc ta somme devient
d somme[k Ck x^k], ce qui fait que si tu veux le degre n, tu as ici aussi simplement k=n et donc: d somme [n Cn x^n]

3) pour a somme[ k (k-1) Ck x^(k-2)], si tu veux le degre n, tu doit donc poser k-2=n, donc k=n+2, et ta somme devient a somme[(n+2) (n+1) Cn+2 x^n]

Et puisque tu as un polynome = 0, tu peux dire que la somme de coefficient de meme degre =0 et tu obtiens:
a (n+2) (n+1) Cn+2 x^n + d n Cn x^n + c Cn x^n =0
et puis de la, tu fais passer de l'autre cote, tu divises, et hopla, tu obtiens la relation entre Cn+2 et Cn.

En TP, Sarah bidouillait les indices directement dans l'equation: tu utilises le meme principe pour obtenir toutes des sommes de x^n avec des coefficients differents, tu as alors un truc du genre
a somme[(n+2) (n+1) Cn+2 x^n]+ d somme [n Cn x^n]+ c somme [Cn x^n] =0
puis elle met somme x^n en evidence, tu as alors
somme x^n [a (n+2) (n+1) Cn+2 + d n Cn x^n + c Cn x^n] = 0
de la, tu peux voir aussi directement que
a (n+2) (n+1) Cn+2 + d n Cn x^n + c Cn x^n =0 et tu obtiens la meme relation de recurrence.

Voila, c'est un peu difficile a expliquer comme ca, j'espere que je ne t'ai pas plus embrouille qu'autre chose Smile
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Re: Relation de récurrence

Message par Touf Touf le Dim 2 Jan - 17:07

Ouais c'est déjà bcp plus clair .
Je vais essayer avec les exos et ca devrait aller bcp mieux !

Merci bcp Smile
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