Séance 6 - Exercice 5

5.Une particule se meut sur une surface de révolution z = f(x2 + y2) sans autre force que la pesanteur. Montrez que la variable teta des coordonnées polaires est cyclique. En déduire une loi de conservation.

Première question :
1)
On utilise les coordonnées polaires , x= rcos(teta) y= rsin(teta)
et z=f(r^2) ...déjà c'est chaud à trouver tout seul mais apres j'ai pas compris la dérivée de z ...
z' = df/dteta(r^2).2rr'

2) Pourquoi teta est cycllique si dL/dteta = 0 ?

Merci bise

2) pcq si tu imagines un cercle. Si tu fais un cycle donc un tour de teta = 2pi, L-Lo fera zero puisque tu es au point de depart.
C'est comme ca que je le vois

1) z = f(r²)
z' = (Df/Dr).(Dr²/Dr).(dr/dt)
= (Df/Dr).2r.r'

Attention! on utilise les coordonnées cylindriques pcq on a une hauteur (z) en plus du plan xy... mais ce n'est quun détail ^^
1)
la hauteur z = f(x²+y²)
or si tu prends x = r cos teta et y = r sin teta, quand tu vas faire x² + y² ça te donne bien r². Comment penser à faire ça... bah comme on bosses en polaire (ou cylindrique) on remplace les coordonnées cartésiennes (x,y,z) par les coordonnée polaires ^^ bref faut faire la chasse au x :p

Et donc ton z = f(r²) et quand tu le dérives par rapport au temps: df (r²)/dt tu n'oublies pas de dériver l'intérieur donc ça te donne : f '(r²) . (r²)' = f'(r²) 2 r r'

Ton r dépend du temps c'est pour ça que tu dois aussi dériver le r² dont f dépend ^^
C'est la même chose que quand tu dérives cos teta² : f = cos et teta = r dans cet exemple ^^
2) Alors si ton L ne dépend pas de teta et que donc ta dérivée par teta est nulle ça te donne : d/dt (dL/dteta*) = 0

Bref ça te dit que la ta fonction dL/dteta* est constante au fil du temps....et donc la variable teta est cyclique (par définition)

Et ensuite, quand tu calcules la dérivée par teta* tu as ce qui est constant ^^"

Voilà, je sais pas si j'ai été très clair ^^

ouais c'est nickel !
merci bcp

En fait, l'histoire de cyclique, c'est par definition
" Une variable generalisee qi est cyclique si dL/dqi=0", c'est tout a la fin du chapitre sur Lagrange... et j'avais pose la question a Naim, qui m'a dit la meme chose.