Démos d'Analyse Hilbertienne

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Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Loucine le Jeu 22 Déc - 16:40

J'ai quelques petits soucis dans les démos "exercices" de ce chapitre...

Fonctions continues et continues par morceaux

Corollaire: Une idée pour la démo ? J'ai :
( f l g ) = ( g l f ) (avec une ligne au-dessus) ...
J'ai pas d'idée pour la suite :s

Systèmes orthonormés

1ère démo: Elle est dans les feuilles de la prof mais je ne la comprends pas.
Comment arrive-t-on à cj = ( u l psyi ) ?
Idem pour toute la suite ...

Dernière démo: Je suis bloquée,voilà ce que j'ai :
ll u - Pn.u ll2
= ( u-Pn.u l u-Pn.u )
= ( u l u ) - ( Pn.u l u ) - ( u l Pn.u ) + ( Pn.u l Pn.u )
= ll u ll2 - ( (Somme ( u l psyk ).psyk) l u ) - ( u l (Somme ( u l psyk ).psyk) ) + l Somme ( u l psyk ).psyk l2
= ... ?

Séries de Fourier

Séries de Fourier de fonctions périodiques


Démo de la Proposition 5.7 : Conséquence directe du théorème de Parseval:
ll f ll2 = Somme(de k=0 à l'infini) l ^fk l2
Et ... ?
Comment obtient-on la relation de la proposition?

Applications linéaires et opérateurs hermitiens

Adjoint d'un opérateur


4e propriété : (AB)*=B*A*
( (AB)*w l v ) = ( w l AB v ) = ...
Suite ?

Vecteurs propres et valeurs propres

Proposition 1:
(alpha = a)
a(vlv)=?(Avlv)=?(vlAv)=(vlav)=a-(vlv)
Qu'est-ce qu'il se passe aux =?

Proposition 2:
(alpha = a et beta = b)
a(vlw)=?(Avlw)=?(vlAw)=?b(vlw)
Idem :p

Merci d'avance !! Smile
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par TimPeteloup le Jeu 29 Déc - 13:11

Loucine a écrit:J'ai quelques petits soucis dans les démos "exercices" de ce chapitre...

Fonctions continues et continues par morceaux

Corollaire: Une idée pour la démo ? J'ai :
( f l g ) = ( g l f ) (avec une ligne au-dessus) ...
J'ai pas d'idée pour la suite :s

C'est le corollaire de quoi en fait? bounce Suspect
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Antonio le Jeu 29 Déc - 15:44

pour le corollaire: On veut demontrer que l'integrale f.g\ dx represente bien un produit scalaire oú f et g sont 2pi periodiques.

On sait que : ( f |g ) = ( g \ | f\ ) (propriete d'un produit sacalire)
Et que: ( f |g ) = Int f.g\ dx (formule de l'integrale)

Et donc ( g\ | f \ ) = Int ( g\ . f\\ ) dx et f\\ = f
= Int ( g\ . f )


Dernière édition par Antonio le Jeu 29 Déc - 20:36, édité 1 fois
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Antonio le Jeu 29 Déc - 17:28

Pour la proposition 2:

Donc on a Av = av et Aw = bw (vectuers et leurs valeurs propres)

a(v|w) = (av|w) = ( Av | w ) = (Propriete d'un operateur hermitien) = ( v | Aw ) = ( Aw\ | v\ ) = b\ ( w\ | v\ ) =
b\ ( v | w ).

or les valeurs propres d'un operatuer hermitien sont reels donc b\ = b. On a clairement deux valeurs propres disctincts associées à deux vecteurs distincts et tu trouve a partir de cet equation que b\ ( v | w )= a ( v |w ).
Cet égalité et seulement vrai ssi ( v | w ) = 0

affraid


En fait la proposition 1 permet de dire que une valeur propre issue d'un operateur hermitien doit être réel a\ = a
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Antonio le Jeu 29 Déc - 20:24

Loucine a écrit:J'ai quelques petits soucis dans les démos "exercices" de ce chapitre...

Systèmes orthonormés

1ère démo: Elle est dans les feuilles de la prof mais je ne la comprends pas.
Comment arrive-t-on à cj = ( u l psyi ) ?
Idem pour toute la suite ...

C'est un peu chaud d'expliquer (d'ailleur je suis pas 100% de ce que je vais dire) mais bon..,

donc on veut (u - v | phyj) = 0 oú phyj est une composante du systéme orthonormé phyk et v appartient a l'espace genere par ce systeme (appelle Vn )

si v appartient à Vn, v = SOME (Ck | phyk )

On veut trouver la composante "j" de façon que (u-v|phyj) = 0

Et donc elle a faire le développement suivant:

( u - v | phyj ) = (u - C0Phy0 - .... - CnPhyn | phyj ) = 0
<=> ( u| phyj) - SOME Ck(phyk | phyj) = 0

et comme c'est un systéme orthonorme tous les produits scalaires oú k =\= j = 0 sauf quand k = j c'est égal à 1

( u | phyj) - Cj(phyj | phyj) = 0
( u | phyj) = Cj

après elle a pris un autre vecteur "u" sur Vn pour confirmer que ça marche quoi...
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par TimPeteloup le Mer 4 Jan - 17:29

Antonio a écrit:Pour la proposition 2:

Donc on a Av = av et Aw = bw (vectuers et leurs valeurs propres)

a(v|w) = (av|w) = ( Av | w ) = (Propriete d'un operateur hermitien) = ( v | Aw ) = ( Aw\ | v\ ) = b\ ( w\ | v\ ) =
b\ ( v | w ).

or les valeurs propres d'un operatuer hermitien sont reels donc b\ = b. On a clairement deux valeurs propres disctincts associées à deux vecteurs distincts et tu trouve a partir de cet equation que b\ ( v | w )= a ( v |w ).
Cet égalité et seulement vrai ssi ( v | w ) = 0

affraid


En fait la proposition 1 permet de dire que une valeur propre issue d'un operateur hermitien doit être réel a\ = a

je comprends pas très bien pirat on prend

a(v|w) = (av|w) = (Av|w) = (v|Aw)

b(w|v) = (bw|v) = (Bw|v) = (v|Aw)

donc b(w|v)=a(v|w)

C'est pas ça?
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Antonio le Mer 4 Jan - 18:58

ouais mais ça est seulement vrai si (w|v)=0 car a =\= b
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Loucine le Jeu 5 Jan - 17:40

Si quelqu'un savait encore m'aider pour les démos restantes ... Smile

Loucine a écrit:
Systèmes orthonormés
Loucine a écrit:
Dernière démo: Je suis bloquée,voilà ce que j'ai :
ll u - Pn.u ll2
= ( u-Pn.u l u-Pn.u )
= ( u l u ) - ( Pn.u l u ) - ( u l Pn.u ) + ( Pn.u l Pn.u )
= ll u ll2 - ( (Somme ( u l psyk ).psyk) l u ) - ( u l (Somme ( u l psyk ).psyk) ) + l Somme ( u l psyk ).psyk l2
= ... ?

Séries de Fourier

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Démo de la Proposition 5.7 : Conséquence directe du théorème de Parseval:
ll f ll2 = Somme(de k=0 à l'infini) l ^fk l2
Et ... ?
Comment obtient-on la relation de la proposition?

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( (AB)*w l v ) = ( w l AB v ) = ...
Suite ?
Loucine a écrit:
Merci d'avance !! Smile
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Loucine le Jeu 5 Jan - 17:40

Un ENORME MERCI Antonio ! Very Happy
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

Message par Eponine le Jeu 26 Jan - 12:50


Systèmes orthonormés

demo 2

( Pn.u l u ) est ce que Pn.u et u ne serait pas orthogonaux? et donc le produit scalaire = 0.

Mais je vois pas d'où vient le moins devant la somme?
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Re: Démos d'Analyse Hilbertienne

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