Transformées de Laplace - Exercice 3c

Voila j'ai un prob pour cet exo, on ne l'a pas fait au TP avec ce cher humberto car il ne l'a même pas donné comme exercice >< Mais j'ai essayé de le faire et je n'y arrive pas donc si quelqu'un pouvait me dire ce qu'il a fait car j'ai un problème pour trouver une transformée de laplace après ma décomposition en somme de fractions simples
Qqn pourrait-il m'aider?

Merci !

L [H(t) e^-at * H(t) e^-bt] (s) = L[H(t) e^-at] (s) * L[H(t) e^-bt] (s)

A l'exo 1 C) tu as montré (normalement ) que L[H(t) e^-at] (s) = 1/(s+a)

tu a donc 1/ [(s+a) (s+b)]

Tu décomposes ça en fractions simples et tu trouves les valeurs de A et B (ce n'est pas très compliqué, beaucoup moins que de tenter de l'écrire sur un forum ) et tu trouveras se qu'on te demande. Il ne te reste plus cas traiter le cas supplémentaire où a=b en utilisant une des "formule" que l'on a vu dans l'exo 1 ( L [H(t) t e^-at] (s) = 1/[(s+a)^2] ).

Pour le b) c'est le même principe mais tu devras faire intervenir la proposition "6" vers la fin du développement.

Le c) je ne l'ai pas fait.

De toute façon je pense les assistants suffisamment malins pour ne pas mettre à l'examen des exercices qu'ils ne vous ont même pas proposer de faire en tp.

oups j'avais oublié de préciser et évidemment c'st le c) où j'ai un problème le a) et le b) j'ai fait comme toi...

Quand tu fais le produit des transformations des convolées, tu arrives à:
1/(s+1)²(s+2)
Tu décomposes en fractions simples avec la méthode avec les A,B, C etc.
Ca donne:
1/s+2 - s/(s+1)²
Le premier terme est la transformée de H(t) exp(-2t).
Le deuxième terme, il faut utiliser une petite astuce:
s/(s+1)² = (s+1)/(s+1)² - 1/(s+1)²
Le premier de ces deux termes donne 1/(s+1), qui est la transformée de H(t) exp(-t)
Le second est la transformée de H(t) t exp(-t)

Donc quand on met tout ensemble sans se tromper dans les signes, cela donne logiquement la réponse:
H(t) [ exp(-2t) + t exp(-t) - exp(-t) ]

Corentin a écrit:
Le deuxième terme, il faut utiliser une petite astuce:
s/(s+1)² = (s+1)/(s+1)² - 1/(s+1)²
Le premier de ces deux termes donne 1/(s+1), qui est la transformée de H(t) exp(-t)
Le second est la transformée de H(t) t exp(-t)

Super merci!!! c'est exactement cette astuce que je cherchais