Opérations sur les séries de fourier 12/10

j'ai un problèm avec la dérivation:
on cherche à savoir si (Sf)(t)=(Sf ')(t)?
on calcule (Sf ')(t)= la somme de gammak.e^ikt
où gammak=1/2pi intégrale (de -pi à pi) de f '(t).e^(-ikt) dt =
1/2pi[f(t).e^(-ikt)](de -pi à pi) + ik/2pi intégrale de (-pi à pi) de f(t).e^(-ikt) dt=
ik.alphak

Je comprends que c'est égale à ik.alphak mais je ne comprends pas ou part l'intégration par partie,d'après moi elle est = -f(pi)+f(-pi)

et je ne sais pas non plus sil faut vraiment tout comprendre dans les détails mais dans le doute...

merci bcp!

l'intégrale par partie se barre car tu as 1/(2pie)*[f(t)e^(-ikt)] de -pie a pie donc ca nous fait 1/(2pie)*f(t)*(e^(-ikpie)-e^(ikpie)) or ca en manipulant(*(2i/2i) en mettant le /2i en dessous des e^) et en utilisant ta formule des sinus ca fait 1/2pi*f(t)*2i*(-sinkpie) donc ca fait 0!
on a pas besoin de mettre les pie et -pie dans les f(t) vu qu'on multiplira toujours par 0

1) c'est correct dans une intégration partielle de ne remplacer que une partie des x par la valeur?pcq ici c'est ce qu'on fait mais ca ma parait bizarre...
ou alors on peut mettre f(pi) en évidence pcq ici f(pi)=f(-pi)?

2)si c'est correct pq on divise par 2i?pcq 2isinkpi=aussi 0 donc on fait une étape n trop,non?

c'est flou pour moi ^^

1) a) ben oui ta le droit pout prouver que l'un de tes termes = 0. la f(t) peut etre s'impore quoi tu multipliras toujours par 0... Sinon non tu peux pas le faire. b) non
2) non car si tu veux tu as la formule (e^(kpiei)-e^(-kpiei))/2i = sinkpiei
donc tu veux arriver à avoir un truc de cette forme la. donc tu divises tes e^... par 2i et tu multi^plies le reste par 2i comme ca c'est bon ta multiplié par 1. et alors seulement ta le droit a transformer tes e^.../2i en sin et comme ca ta prouvé que ca valait 0.

J'espère que c'est plus clair mais jdois dire que c'est pas toujours évident t'expliqué par ordi...

1)ok pr le a) et b) ca me paraissait juste bizarre
2)heu moi je remplacait juste e^(ikpi) par coskpi + isinkpi et la mm chose pr l'autre mais en fait on peut pas pcq il n'y a pas de x ou de variable c'est ca?

c'est deja plus clair en tout cas!^^ merci

2) si si tu peux le faire comme ca la formule c'est juste un racourci... c'est souvent utile pour calculer tes séries de fourier...

oki dok merchi!

C'est un peu louche cette histoire de remplacer qu'une partie dans []!

Par exemple, si on a : [t*t²] de -1 1.

si on remplace que t², ça fait bien 0 pour tout. Mais si on remplace tout en même temps, ça fait pas 0!

oui, mais la difference, c'est quand dans le cas du sin, c'est pas sin-sin qui fait 0, mais sin(kpi)=0, et sin(-kpi)=0 et donc dans [], tu auras en fait f(t)*0-f(t)*0.
Dans l'exemple que tu donne, (-1)^2=1 et 1^2=1, donc c'est la soustraction des 2 qui fait 0! Et la non, c'est pas la meme chose...

Ok.
Mais dans ce cas, j'invoque l'existence du cosinus!

prenons [t*((t²-1) + t²)]

t représente f(t)
t²-1 représente le sinus(qui s'annule bien tout seul)
t le cosinus

ça refait le même!

ici on a pas de somme,juste un produit

non, si tu décomposes le e^ikt ça fait une somme.

Et si tu transformes le e^machin directement comme colin l'a fait, ça fait que pour obtenir 0, on a du sommer les deux, et donc l'argument de bérengère ne tient plus

non pcq justement c'est une formule qu'on avait vu l'année dernière en cofo e^(kpiei)-e^(-kpiei))/2i = sinkpiei
et cos(t)=(e^(it)+e^(-it))/2

Oui, donc tu dois sommer les deux pour obtenir un truc nul.
Je ressors donc mon [t*t²]

en fait c'est juste si f(pi)=-f(-pi) pcq comme ca on peut mettre en évidence et le truc du sinus marche donc pe que ca veut dire que ca marche que pour des fonctions impaires?

C'est ça qui est louche!
C'est peut-être une histoire de normalisation: au début du cours, on a dit qu'on normaliser en disant que f(a)=f(b)=1/2 des limites nia nia nia. Mais on a plus jamais utilisé ça

f fonction ayant une valeur moyenne nulle.
F primitive de f ayant une valeur moyenne nulle

http://www.cnam.fr/math/IMG/pdf/MVA10166.pdf

Je comprends pas trop mais pe que toi tu vas savoir l'interpréter?

en tout cas c'est juste,c'est pas une histoire de périodicité?

Non, je ne sais pas... Colin nous éclairera peut-être!^^

Oui, c'est juste... je n'avais pas pense aux cos...
mais comme on est dans la partie sur les series de Fourier des fonctions 2pi periodiques... tout s'arrange et f(pi) est bien egal a f(-pi), donc les cos s'annulent

Mais si on prend f(x)=x, entre -pi et pi, ça marche pas

Dans cet exemple-la, j'ai note dans mon cours en remarque, qu'effectivement, ca ne marche pas aux extremite car f(x) n'est pas 2pi periodique en elle-meme et pas normalisee, mais que la serie de Fourier prend la valeur moyenne quand il y a un saut... et comme f(x)=x est impaire, la moyenne vaut 0.
Ce qui n'eclaircit pas beaucoup les choses, mais ce que j'en ai retenu, c'est qu'on s'en fout des sauts dans les series de Fourier, qu'on peut en gros les ignorer... je ne sais pas si c'est vraiment juste par contre.
Mais en tout cas, j'ai note dans la demonstration pour la derivee (ou on ne precise pas f(t) qu'on pouvait faire le truc du sinus parce que f(pi)=f(-pi) car la fonction est 2 pi periodique...
Je ne sais pas si ca aide.