Réponse Août 2010

1) quand z<1 (bon a chque fois ces la somme de n allant de o e l'infini.
((-z)^n+(-z/2)^n)
qand z>1 et <2
((-1)^n*z^(-n-1)+(-z/2)^n)
quand z>2
(-1)^n*(z^(-n-1)+(2/z)^(n+1))
2) série de fourier=
1/pie+0,5cosx+ 2/pie somme de m allant de 1 a l'infini (-1)^m/(1-4m^2) * cos(2mx)
la deuxième partie il ne faut pas la faire
3) a) loriginal est
h(t)-h(t)sint+h(t) e^(8t)cos5t
voila en espérant de pas avoir fait de faute de frappes

Super merci!
Par contre pour la première question: 1/(1-u)=(sigma)(u^k), il n'y a pas de factorielle. Je vois ca dans toutes mes notes si qqun pouvait confirmer.

Tu peux me dire comment trouver pour le tout premier?

Pour la série de Fourier j'ai souvent le même problème.
La fonction est paire donc pas de calcul de coefficients 'en sinus'.
Je pose comme intégrale de départ:

Quand je développe, toutes les 'boites' s'annulent vu qu'il y aura toujours un sinus et un cosinus dedans. Du coup je tombe toujours sur un truc du genre I=(cste*k^(+-2))I... Pas très logique.
Où est-ce que ca coince???

Pour le premier:

f(z)=-1/(z+1)+2/(z+2)=A+B par décomposition en fractions simples

lzl <1: sachant que 1/(1-u)=(somme de j=0 à l'infini)(u^k), tu trouves les séries pour A et B séparément puis tu les additionnes.
A=(somme)(-z)^j
B=(somme)(-z/2)^j

lzl entre 1 et 2:
B reste valable car pas de singularité.
A': mets -1/z en évidence, calcule le reste puis injecte -1/z dans ta somme.

au delà de 2:
A' reste valable. Tu trouves B' comme en A'.

Y a l'exercice 12 des TP qui fait pareil.

Sinon pour la 2e partie de Fourier c'est écrire Parseval je pense. Donc on pourrait le faire...

et n! vient d'où?

Sinon, en fraction simple, A= - 1, donc il manque pas un - quelque part dans la suite?

Pour parseval, sarah aurait dit qu'il ne faut pas connaitre, c'est vrai?

C'est ce que j'ai proposé en première réponse:
1/(1-u)=(sigma)(u^k) et non 1/(1-u)=(1/k!)(sigma)(u^k)

C'est vrai pour le -! A part ca je pense que c'est bon. Il y juste l'inverse de la factorielle à virer.

Ok si ça a été dit pour Parseval, je ne le savais pas.

C'est tant mieux, car je pige pas comment le prof fait

Oui apparemment Sarah l'a dit à Colin , en tout cas on avait passé tous les exercices sur Parseval en TP.

Le n! me semble fort louche aussi

J'ai aussi le même prob,j'ai pas de n! et un problème de signe aussi,c'est pas une série - l'autre simplement? et pour le 3eme cas pq c'est (-1)^n*(z^(-n-1)+(2/z)^(n+1)) et pas (-1)^n*(z^(-n-1)+(-2/z)^(n+1))??

bon oui le n! cetait un produit de mon imagination

j'ai le même problème que toi bertrand...j'arrive que ak=0... quelqu'un help?

j'ai compris en fait la boite avec cosnx ne s'annule pas pcq si n=2 ca donne cos de pi donc c'est pas = 0

en ce qui concerne ta question sur le 1 le (-) je le sors avec le (-1)^n qui concerne a ce moment la tes deux sous séries si tu veux.

J'ai un problème avec Fourier ^^"
de mes calculs, j'obtiens :
a0= 2/ pi => a0 /2 = 1/pi
an = cos (npi/2) (-2/(pi(n²-1))

ce qui donne comme série de Fourier:

1/pi -2/pi SOMME cos npi * cos nx (1/n-1)

ce qui ne ressemble pas du tout à ce que Colin a posté ^^" Je ne comprends pas comment il reste des 0.5cos x alors qu'on a intégré avec des bornes....

Est-ce que quelqu'un a obtenu la même chose que Colin?
Bref: HElp ^^"

pour a0 j'ai la même chose et pour an j'ai encore qqch de différents...

c'est quoi ton an colin?

personne n'obtient la même chose que moi? ça a été confirmé par sarah donc c'est sur... bon je vais essayé d'epliqué mais c'est assez long donc je vais sauter des étapes a chaque fois
Bon alors on a bk=0 car fonction paire
on a ak=1/pie int (-pie/2,pie/2)coxcoskx dx
simpson
1/2pie int (-pie/2,pie/2) cos(1+k)x+cos(1-k)x dx
cas particulier si k=1 car on a cos 0 pour le deuxième terme.
On obtient 1/2 en intégrant
si K>1
on intégre
ca donne 1/2pie [(2sin(k+1)pie/2)/(k+1)+(2sin(k-1)pie/2)/(k-1)]
bon les deux sinus sont toujours de signe opposé vu qu'ils sont décalés de pie l'un par rapport à l'autre
2/pie [sin((k-1)pie/2) * (1/(K^2-1)]
or sin(k-1)pie/2
sin(kpie/2-pie/2) par simson
= -cos kpie/2
ak= 2/pie * coskpie/2 /(1-k^2)
voillla bon c'était un peu l'exercice très chaud de l'examen d aout
le reste c'est du biodouillage on va poser k=2m mais ces pas obligé de le faire c'est un truc qu'il font souvent pour les série de fourier dans les exo pour que garder que les K pair comme on doit le faire vu que sinon ca fait 0 mais on peut laissé sous la forme
SF= 1/pie + 1/2 cos x + ak(coskx) en partant de k=2

en espérant ne pas avoir fait de fautes de frappes

Ouais, moi j'ai arrêté d'appliquer Simpson pcq j'ai remarqué que pour certaines séries de Fourier ça te donne des coss\sin avec des arguments chiants...ici j'ai fait par parties 2 fois....

Ca doit donner la même chose au final je suppose...fin bon :p tant pis :p

en faisant par partie jai juste un bug de facteur 2 ds mon an... ak= 1/pie * coskpie/2 /(1-k^2) et pas ak= 2/pie * coskpie/2 /(1-k^2)

Pour la question 4 de la théorie... il faut donde la justification de la formule de Cauchy?

*donner :p