Août 2008 - Question 1

J'ai une petite question pour le e^-1/z

Existe-t-il une singularité? Je n'en trouve pas donc je dirais qu'on ne peut pas appliquer Taylor mais je ne suis pas sûre :-S

Non en fait je dirais plutôt qu'on peut appliquer Taylor mais pas Laurent ^^

Enfin j'en sais rien ^^

Bah en suivant la règle des fcts composés, puisque 1/z a une singularité en z = 0, e^(-1/z) l' a aussi...

Mais en z=0, 1/z=infini

donc e^1/z=infini

donc e^-1/z=1/e^1/z=0

Ce n'est donc pas une singularité

une singularité c'est -je pense- là où la fonction n'est pas analytique, et on a vu que quand on a une fonction avec un dénominateur elle est analytique partout sauf au point d'annulation du dénominateur, donc ici en z=0

Bon c'est peut être complètement faux ce que je dis aussi

Mais justement le dénominateur ne s'annule pas il me semble !

F(z) n'est pas dérivable en z=0:

(e^(-1/z))' = e^(-1/z) . 1/z²

Ouille... Tu détermines ta singularité en fonction de la dérivée ?

Bon ce que je vais dire est à prendre avec des pincettes, mais moi j'aurais dit que chaque fois qu'il y a un denominateur nul il y a une singularité,puisqu'en fait on ne peut pas strictement diviser par 0....
Quand on divise par 0 il me semble que c'est chaque fois dans le cadre d'integrale (ou de derivées), qui ne sont jamais que des sommes de petits elements pris à la limite, donc on ne divise pas par 0 mais on fait tendre un nombre vers 0... D'après mes souvenirs, dire 5/0=infini est faux, il faut dire 5/n=infini pour n tendant vers 0...
Enfin en bref il me semble qu'en "vrai" on ne peut pas diviser par 0, hors du cadre integrale/derivée/limite et que donc tout denominateur nul dans une fonction est une singularité.

Je ne pense pas qu'il y ait de singularité dans ce cas la... Si on regarde le graphe d'une exponentielle, , il n y a pas de singularité, le exp(-1/z) nous donne juste une exp avec un exposant inferieur a 1
il n y a donc pas de taylor possible...

Graphe de la fonction:


Il me semble bien qu'il y a une singularité

Donc tu dirais que Taylor est possible ?

Comme ça j'aurais dit oui mais bon.... Cette histoire de diviser par 0 me perturbe vraiment, on m'a toujours dit qu'on ne pouvait pas diviser par 0
Et puisque la limite à gauche n'est pas egale a la limite a droite ça en fait une singularité non?

Heu bah je ne sais pas :s

Possible ^^ Mais c'est un peu bizarre qu'il ait mis des trucs si compliqués...