Analyse hilbertienne - Exercice 12

Salut !
J'aurais besoin de votre aide pour le 12 on demande de vérifier si les fonctions phi(n) forment un système orthonormé de de SC(0, pi). J'imagine qu'il faut calculer un produit scalaire : en effet en théorie ils disent qu'un système est orthogonal si ses composantes sont orthogonales deux à deux. Or deux vecteurs sont orthogonaux si (v ! w) = 0 ? Mais je vois pas trop comment faire... Ensuite il faut vérifier s'ils sont orthonormés... Là non plus je vois pas

Merci !!

pour le produit scalaire tu doit faire (f | phi) = intérale de tes bornes dans l'énoncé (f. le conjugué de phi) et tu résouds et ça doit bien être = à 0

après tu pour vérifier si c orthonormé je pense que c || phi|| = 1
là jsais pas j'ai fait (phi | phi) mm transfo que pr celui du dessus et tu devrais prouver pr n différent de 0 ( n le coeff dans le sinus, juste devant le x) ton intégrale vaut bien 1

(en fait en intégrant ton n vas se retrouver au dénominateur......)

Ok pour le point a je trouve bien qu'il est orthonormé...
Donc pour le point b si j'ai bien compris calculer les composantes de f c'est faire le produit scalaire (f ! phi) ??

D'après ce que j'ai compris, quand il demande de calculer les composantes d'une fonction dans une base (ici orthonormée), il faut calculer les coefficients de Fourier.
En effet, si le système est complet, la fonction est égale à la série de Fourier:
f = Somme (^fk phi(k)) --> les ^fk (coeff de fourier) sont les composantes dans la case des phi(k))

Ok merci

perso pr le b pr prouver que c'était égal à 1 j'avais fait (phi_k | phi_j) et en mettant des condictions avec k et j je prouvais que c'était égal à 1 c pas plus simple???

Moi je faisais tout simplement:
Norme(phik)=Racine(phik/phik)=1