Analyse hilbertienne - Exercices 15 + 20-26 (les valeurs propres)

bonjour,

j'ai aucune idée comment calculer les valeurs propres en générales...je connais juste la méthode avec les matrices mais là je sais pas quoi faire,si quelqu'un sait m'aider,

merchi beaucoup!

tu dois juste calculer AF=lF ou A est ton application donné et f la fonction propre cherché et l la valeur propre cherché. Cela te donne une équation différentielle par exmple pour le 24 tu vas avoir iy'(x)+yi/x - ly=0
tu résoud par la méthode vue l'année passé ça te donne f= K/x e^(lx/i)
tu as des conditions initiales qui vont te permettre de calculer l
f(pie) = f (-pie) ca te donne < -e^(-ilpie)= e^(ilpie)
< 2cos lpie=0
l doit donc etre impaire donc = 2k+1 ou k appartient a Z(...-2,-1,0,1,2...)
et puis tu retranscris ta valeur propre dans ta fonction propre et le tour est joué;

oki dok cha va c'est pas trop compliquer!merci!

Pour le 15, pour prouver que les opérateurs ont des valeurs propres, on fait quoi? On prouve que c'est des opérateurs linéaires?

Ou bien même juste qu'ils sont hermitiens?

je pense pas y a rien dans la théorie la dessus je pense pas que ce soit une propriété des opérateur hermitiens... je pense qu'ils faut juste trouver une valeur propre. Mais on a pas fait cette exercices en tp donc je pense pas que ce soit très important

votre assistant a fait cette exercice mais c'est vraiment du chinois il répond même pas à la question à la fin

toujours dans les derniers exo,je ne sais pas ce qu'est un fonction forte?et comment on fait pour savoir que c hermitien pcq au debut ca allait avec (Ag/f) doit être égale à (g/Af) mais après ca se complique...
merci bcp

ben pk cces hermitien c'est toujours ag/f = g/af qu'il faut utiliser souvent ces du bricolage en utilisant les conditions initiales et en intégrant par partie. Tu parles des fonctions propre j'imagine? ben c'est déjà expliqué au dessus, ces la solution de l'équa dif en y mettant ta valeur propre trouvé...

ouip finalement jai eu une illumination cette nuit,c'est juste que jallais pas au bout et donc je voyais pas que c'etait faisable^^
et en fait je me suis trompé c'est pas une fonction forte c'est une fonction de poids... c'est à partir de l'exercice 23,on doit en tenir compte où on fait tout comme d'hab?

"Le produit scalaire de fonctions le plus simple est l'intégrale du produit de ces fonctions, sur un intervalle borné :

< f,g >=int(de a à b) f(x)g(x)dx

Plus généralement, on peut introduire une "fonction poids" W(x) dans l'intégrale (sur l'intervalle d'intégration ]a,b[, W doit être à valeurs finies et strictement positives, et l'intégrale du produit de la fonction poids par un polynôme doit être finie ; les bornes a,b peuvent être infinies) :

< f,g >=int(de a à b) f(x)g(x)W(x)dx "

jai trouvé ca sur wiki mais bon...ca ne m'aide pas beaucoup.
Est ce que c'est le mm principe pour quand on cherche les alpha k pour les séries de Taylor ,où on multuplie f(x) par l'espace orthonormé qui est généralement e^(-ikx) ?

ces bien ca tu dois juste vérifier que int (ag*gconjug*w(x))=? int (g*af conjug*w(x)) et pour les fonction propres et valeur propre ça ne change rien tu fais comme si il y avait pas de w(x)

tu as des conditions initiales qui vont te permettre de calculer l
f(pie) = f (-pie)

c'est f(pi)=-f(-pi)

donc petite faute mais le principe est bon^^