Démos d'Analyse Hilbertienne

J'ai quelques petits soucis dans les démos "exercices" de ce chapitre...

Fonctions continues et continues par morceaux

Corollaire: Une idée pour la démo ? J'ai :
( f l g ) = ( g l f ) (avec une ligne au-dessus) ...
J'ai pas d'idée pour la suite :s

Systèmes orthonormés

1ère démo: Elle est dans les feuilles de la prof mais je ne la comprends pas.
Comment arrive-t-on à c_j = ( u l psy_i ) ?
Idem pour toute la suite ...

Dernière démo: Je suis bloquée,voilà ce que j'ai :
ll u - Pn.u ll²
= ( u-Pn.u l u-Pn.u )
= ( u l u ) - ( Pn.u l u ) - ( u l Pn.u ) + ( Pn.u l Pn.u )
= ll u ll² - ( (Somme ( u l psy_k ).psy_k) l u ) - ( u l (Somme ( u l psy_k ).psy_k) ) + l Somme ( u l psy_k ).psy_k l²
= ... ?

Séries de Fourier

Séries de Fourier de fonctions périodiques

Démo de la Proposition 5.7 : Conséquence directe du théorème de Parseval:
ll f ll² = Somme(de k=0 à l'infini) l ^f_k l²
Et ... ?
Comment obtient-on la relation de la proposition?

Applications linéaires et opérateurs hermitiens

Adjoint d'un opérateur

4^e propriété : (AB)*=B*A*
( (AB)*w l v ) = ( w l AB v ) = ...
Suite ?

Vecteurs propres et valeurs propres

Proposition 1:
(alpha = a)
a(vlv)=^?(Avlv)=^?(vlAv)=(vlav)=a^-(vlv)
Qu'est-ce qu'il se passe aux =^?

Proposition 2:
(alpha = a et beta = b)
a(vlw)=^?(Avlw)=^?(vlAw)=^?b(vlw)
Idem :p

Merci d'avance !!

Loucine a écrit:J'ai quelques petits soucis dans les démos "exercices" de ce chapitre...

Fonctions continues et continues par morceaux

Corollaire: Une idée pour la démo ? J'ai :
( f l g ) = ( g l f ) (avec une ligne au-dessus) ...
J'ai pas d'idée pour la suite :s

C'est le corollaire de quoi en fait?

pour le corollaire: On veut demontrer que l'integrale f.g\ dx represente bien un produit scalaire oú f et g sont 2pi periodiques.

On sait que : ( f |g ) = ( g \ | f\ ) (propriete d'un produit sacalire)
Et que: ( f |g ) = Int f.g\ dx (formule de l'integrale)

Et donc ( g\ | f \ ) = Int ( g\ . f\\ ) dx et f\\ = f
= Int ( g\ . f )

Pour la proposition 2:

Donc on a Av = av et Aw = bw (vectuers et leurs valeurs propres)

a(v|w) = (av|w) = ( Av | w ) = (Propriete d'un operateur hermitien) = ( v | Aw ) = ( Aw\ | v\ ) = b\ ( w\ | v\ ) =
b\ ( v | w ).

or les valeurs propres d'un operatuer hermitien sont reels donc b\ = b. On a clairement deux valeurs propres disctincts associées à deux vecteurs distincts et tu trouve a partir de cet equation que b\ ( v | w )= a ( v |w ).
Cet égalité et seulement vrai ssi ( v | w ) = 0




En fait la proposition 1 permet de dire que une valeur propre issue d'un operateur hermitien doit être réel a\ = a

Loucine a écrit:J'ai quelques petits soucis dans les démos "exercices" de ce chapitre...

Systèmes orthonormés

1ère démo: Elle est dans les feuilles de la prof mais je ne la comprends pas.
Comment arrive-t-on à c_j = ( u l psy_i ) ?
Idem pour toute la suite ...

C'est un peu chaud d'expliquer (d'ailleur je suis pas 100% de ce que je vais dire) mais bon..,

donc on veut (u - v | phy_j) = 0 oú phy_j est une composante du systéme orthonormé phy_k et v appartient a l'espace genere par ce systeme (appelle Vn )

si v appartient à Vn, v = SOME (C_k | phy_k )

On veut trouver la composante "j" de façon que (u-v|phy_j) = 0

Et donc elle a faire le développement suivant:

( u - v | phy_j ) = (u - C₀Phy₀ - .... - C_nPhy_n | phy_j ) = 0
<=> ( u| phy_j) - SOME C_k(phy_k | phy_j) = 0

et comme c'est un systéme orthonorme tous les produits scalaires oú k =\= j = 0 sauf quand k = j c'est égal à 1

( u | phy_j) - C_j(phy_j | phy_j) = 0
( u | phy_j) = C_j

après elle a pris un autre vecteur "u" sur Vn pour confirmer que ça marche quoi...

Antonio a écrit:Pour la proposition 2:

Donc on a Av = av et Aw = bw (vectuers et leurs valeurs propres)

a(v|w) = (av|w) = ( Av | w ) = (Propriete d'un operateur hermitien) = ( v | Aw ) = ( Aw\ | v\ ) = b\ ( w\ | v\ ) =
b\ ( v | w ).

or les valeurs propres d'un operatuer hermitien sont reels donc b\ = b. On a clairement deux valeurs propres disctincts associées à deux vecteurs distincts et tu trouve a partir de cet equation que b\ ( v | w )= a ( v |w ).
Cet égalité et seulement vrai ssi ( v | w ) = 0




En fait la proposition 1 permet de dire que une valeur propre issue d'un operateur hermitien doit être réel a\ = a

je comprends pas très bien on prend

a(v|w) = (av|w) = (Av|w) = (v|Aw)

b(w|v) = (bw|v) = (Bw|v) = (v|Aw)

donc b(w|v)=a(v|w)

C'est pas ça?

ouais mais ça est seulement vrai si (w|v)=0 car a =\= b

Si quelqu'un savait encore m'aider pour les démos restantes ...

Loucine a écrit:
Systèmes orthonormés

Loucine a écrit:
Dernière démo: Je suis bloquée,voilà ce que j'ai :
ll u - Pn.u ll²
= ( u-Pn.u l u-Pn.u )
= ( u l u ) - ( Pn.u l u ) - ( u l Pn.u ) + ( Pn.u l Pn.u )
= ll u ll² - ( (Somme ( u l psy_k ).psy_k) l u ) - ( u l (Somme ( u l psy_k ).psy_k) ) + l Somme ( u l psy_k ).psy_k l²
= ... ?

Séries de Fourier

Séries de Fourier de fonctions périodiques

Démo de la Proposition 5.7 : Conséquence directe du théorème de Parseval:
ll f ll² = Somme(de k=0 à l'infini) l ^f_k l²
Et ... ?
Comment obtient-on la relation de la proposition?

Applications linéaires et opérateurs hermitiens

Adjoint d'un opérateur

4^e propriété : (AB)*=B*A*
( (AB)*w l v ) = ( w l AB v ) = ...
Suite ?

Loucine a écrit:
Merci d'avance !!

Un ENORME MERCI Antonio !

Systèmes orthonormés

demo 2

( Pn.u l u ) est ce que Pn.u et u ne serait pas orthogonaux? et donc le produit scalaire = 0.

Mais je vois pas d'où vient le moins devant la somme?