Exam janvier 2011

Examen janvier 2011 :
Question 1
Calculez, à 10−13 près, la valeur de x comprise entre 4 et 5 qui minimise
intégrale de 0 à x :(exp(t)* cos t − 4 sin t) dt.
Justifiez le choix de la, ou des méthodes que vous appliquez.
Que pensez-vous de la qualité de la valeur de x trouvée ?

Pour la minimiser je cherche le 0 de la dérivée sauf que quand je dérive je ne trouve pas de 0 entre 4 et 5?

a priori, si tu dois minimiser l'intégrale d'un truc, tu peux donc dire que truc=0 puisque c'est déjà la dérivée.... donc tu ne dois rien dériver toi-même je ne sais pas si c'est là ton erreur, mais ça m'a fais bugger un moment ;-)

Oui c'est la merci

Il faut trouver le minimum de la fonction (et cos t − 4 sin t) ? J'ai pas trop d'idée pour résoudre ça, vous faites comment ?

ben en gros, tu résouds l'équation (exp(t)* cos t − 4 sin t)=0 en faisant comme d'hab' et tu vérifies sur le graphique si ça te donne un max ou un min en fonction de comment ta fonction change de signe. Ou alors, si tu veux te casser la tête, tu calcules la dérivées seconde (cad la dérivée première de la fonction ci-dessus) aux zéros trouvés pour voir si elle est pos ou neg, pour être sûr que c'est un min ou un max

ludo a écrit:Il faut trouver le minimum de la fonction (et cos t − 4 sin t) ? J'ai pas trop d'idée pour résoudre ça, vous faites comment ?

Non, c'est l'intégrale de la fonction (e^t cos t − 4 sin t) sur l'intervalle [0,x] qu'il faut minimiser, donc pour ça on cherche les valeurs de x où s'annule la dérivée de cette intégrale.

l'intégrale peut se réécrire :

S(0->x) f(t)dt = F(x) - F(0)
(théorème fondamental du calcul intégral)

S(0->x) veut dire intégrale de 0 à x et F est la primitive de f

On cherche le x qui minimise cette expression, donc on prend la dérivée par rapport à x et on regarde où ça s'annule

d/dx (F(x) - F(0)) = f(x)
(f est la dérivée de F, et F(0) ne dépend pas de x)

Donc en gros il faut bêtement trouver la valeur de x pour laquelle la fonction f(x) (c-à-d la fonction contenue dans l'intégrale) s'annule. (En n'oubliant pas de vérifier qu'on a bien affaire à un minimum)

merci parfait