Complexes

J'ai encore 2 petites questions, vu que le service est rapide et efficace !!
c'est 2 complexes que je maîtrise pas totalement



la 1ère vient du test de cofo du 3/11/2005 (exercice 7)

Simplifier au maximum l'expression: (1+z)^n où z= cos(2pi/3)+i sin(2pi/3)

Indication: utiliser les relations trigonométriques permettant d'exprimer (1+z) en fonction de cos(pi/3) et sin(pi/3), mettre en évidence le facteur commun, puis utiliser la formule De Moivre

la solution:
(1+z)^n = [1+cos(2pi/3) +i sin(2pi/3)]^n
= [2 cos²(pi/3) +i 2sin(pi/3) cos(pi/3)]^n
= 2^n[cos(pi/3)]^n [cos(pi/3) + i sin(pi/3)]^n
= [cos(npi/3) + i sin(npi/3)]

on peut aussi écrire (1+z)^n = [cos(pi/3) + i sin(pi/3)]^n
= 1/2^n [1+i racine de 3]^n

je comprend pas trop le développement même de la solution
faut-il utiliser 1= cos²(pi/3)+ sin²(pi/3) pour débuter
mais même par la suite je ne suis plus, si quelqu'un savait m'éclairer?



la 2ième vient de l'examen de cofo du 25/05/2008 (exercice 2)


Soit le nombre complexe défini par Z=
(1-i racine de 3) [cos(b) + i sin(b)]
_____________________________
2(1-i) [cos(b) - i sin(b)]

Déterminer le module et l'argument de Z

Solution: Module (Z) = 1/racine de 2 (ça c'est ok!)
Argument (Z) = 2b - pi/12 / j'obtiens bien un pi/12 mais pas le 2b mais je ne suis pas sûre d'appliquer même la bonne formule pour le pi/12


Si quelqu'un avait une idée où aurait déjà planché sur ces questions,
je vous lirai avec plaisir

Pour le premier exercice, tu décomposes ton cos2x (ou cos2pi/3) avec la formule :

1+cos2x= 2cos²x

et ton sin2x avec la formule :

sin2x= 2 sinx cosx

Tu obtiens donc bien: [2 cos²(pi/3) +i 2sin(pi/3) cos(pi/3)]^n

Tu peux mettre 2cox en évidence: [(2 cos(pi/3)) (cos(pi/3) + i sin(pi/3))]^n

Ensuite tu sors ton (2 cos(pi/3) de la parenthèse, sans oublier de mettre leur exposant n

==> = 2^n[cos(pi/3)]^n [cos(pi/3) + i sin(pi/3)]^n

Et puis à la dernière ligne, il manque la première partie il me semble...

[cos(pi/3) + i sin(pi/3)]^n est bien égal à [cos(npi/3) + i sin(npi/3)] (on peut faire rentrer l'exposant) mais il manque 2^n[cos(pi/3)]^n devant

Ca donne donc : 2^n[cos(pi/3)]^n [cos(npi/3) + i sin(npi/3)]




Et pour le deuxième exercice :

Le pi/12 correspond à ton (1-i racine de 3)/2(1-i)

Mais il te reste les termes en cos et sin...

cos(b) + i sin(b) = e exposant ib

cos(b) - i sin(b) = cos(-b) + i sin(-b) car cos(b)=cos(-b) et sin(-b)= - sin(b)

Donc tu trouves e exposant i(-b) au dénominateur

Tu as donc e exposant ib / e exposant -ib

Ce qui est égal à e exposant 2ib

Donc tu trouves bien au total : 2b - pi/12



Heu tu me dis si c'est pas clair hein :p

l'explication est parfaite
merci de m'avoir répondue si rapidement et si précisément!