Fonctions d'une variable complexe - Exercice 11

salut,
pour le point b, j´ai pas compris comment on trouve que les fonctions f et g sont holomorphes à z0=-1

mercii

je comprends pas trop ta question... Elle est holomorphe juste parce en zo=-1 juste parce que -1 n'est pas une singuliarité, la seul singuliarité c'est zo=1 pour les deux fonction...

ah ok j´ai compris, j´avais mélangé des trucs...
merci

C'est possible de réexpliquer l'exo en tout cas le raisonnement parce que avec ce cher Klein c'est pas facile les math....

Lequel parce que il y a une partie A et une partie B et à chaque fois il y a deux fonctions...
ca fait genre 1 page et demi de résolution...
L'idée de base c'est de transformer ta fonction en "quelquechose"*1/(1-F(z)) ou cette F(Z)<1 ta le droit de mettre a peu près tout en évidence ce "quelqe chose" peut etre z,2,-,z^n'importe quelle nombre combinaison de tout ca . Et cette fonction sa série de taylor ou laurent c'est somme de k allant de o a linfini de F(z)^k
une autre propriété importante c'est que St F'(Z)= (St F(z))' tu applique cette formule l'exercice est beaucoup s'implifié. Et tu as une série de taylor tant que tu n'a pas de singuliarité autour du point ou tu cherches la série. (attention si le point autour duquelle tu cherches ta série est une singuliarité tu as une série de laurent directement cfr derniere exercice). Dés que tu as une singuliarité tu passes à une série de laurent. Tu auras des nouvelle conditions sur Z-Zo (Zo est le point autour duquelle tu cherches la série) ET puis a chaque nouvelle singuliarité tu as une nouvelle série de laurent (et de nouvelle conditions sur Z-Zo.
Voila la méthode générale si tu cales à un moment particulié dans un exercice fais le savoir
Dernière remarqque tu peux pas mettre en évidence quelque chose de la former (Z+1) ou (Z+1)^-1 car ce genre de fonction ont eux même une série de taylor finie. donc déco fraction simple dans ce cas la.

Il ya un truc que j'ai pas capté dans cet exo, c'est comment on trouve les rayons de ces cercles ...
Dans le
a) on demande autour du point zo=0 et que ce soit pour f(x) ou g(x) on utilise un cercle centré en 0 ( ça OK!) mais de rayon 1 . Pourquoi rayon 1?
b) on demande autour du point zo=-1 et là on utilise un cercle de centre -1 ( OK!) et de rayon 2 ... Pourquoi rayon 2 ?

merci bcp

En fait tu fais un cercle qui a la singularité de ta fonction sur son contour.

Alors pour les z à l'intérieur du cercle, tu trouves une série de Taylor de ta fonction, tandis que pour les z à l'extérieur, tu vas trouver une série de Laurent.

Et dans le cas ou on t'impose la singularité comme centre...tu as seulement une série de Laurent il me semble.

Ouais nickel merci!

Dernière remarqque tu peux pas mettre en évidence quelque chose de la former (Z+1) ou (Z+1)^-1 car ce genre de fonction ont eux même une série de taylor finie. donc déco fraction simple dans ce cas la.

et comment tu fais en fractions simples (z+1)^-1 ?
si on doit faire la série de taylor de (z+1)^-1 en z0=0, peut-on dire que
f=(1-(-z))^-1 = Somme (-z)^k ??

a) c'est quand on a un truc dans le genre 1/((Z-1)*(Z-2)) ta pas le droit de mettre 1/z-1 en évidence et le faire fois la série de taylor de 1/(Z-2)! on doit faire décon en fracion simples. Ca peut etre perturbent parce qu'on fait ce genre de chose si on a 1/(Z*(Z-1)) par ex.
B) oui

par rapport a la derniere remarque.. justement ds le 12.. on a qqc du type: Z/(Z-i)(Z+i) .. mais on met Z-i en evidence et on met Z/Z+i sous forme se serie.. pq est ce qu'on peut faire ca (l'histoire de mettre en evidence)?

pq on a le z au numerateur? c'est un peu flou flou ds ma tete :/